Mas ejercicios
¿Qué es el Mínimo Común Múltiplo (MCM)?
El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números es el menor número entero positivo que es múltiplo de todos ellos. Es decir, es el número más pequeño que puede ser dividido exactamente (sin dejar residuo) por cada uno de los números dados.
Ejemplo de cálculo de MCM
Supón que quieres hallar el MCM de 4 y 6:
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, …
El primer número que aparece en ambas listas es 12, así que el MCM de 4 y 6 es 12.
Ejercicios
2) Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes grupos de números:
a) 38 y 8
b) 13 y 30
c) 86, 64 y 20
d) 75, 45, 20 y 25
Ejercicios
Coincidencia de eventos
Tres autobuses salen de la misma estación: el A cada 6 minutos, el B cada 8 minutos y el C cada 10 minutos. Si coinciden a las 7:00 AM, ¿a qué hora volverán a coincidir?Para saber cuándo volverán a coincidir los tres autobuses que salen cada 6, 8 y 10 minutos respectivamente, debemos calcular el mínimo común múltiplo (MCM) de esos números.
Paso 1: Descomponer en factores primos
6 = 2 × 3
8 = 2³
10 = 2 × 5
Paso 2: Tomar los factores con mayor exponente
Factor 2: máximo exponente es 3 (de 8) → 2³ = 8
Factor 3: máximo exponente es 1 (de 6) → 3
Factor 5: máximo exponente es 1 (de 10) → 5
Paso 3: Calcular el MCM
MCM = 8 × 3 × 5 = 120 minutos
Resultado
Los tres autobuses volverán a coincidir 120 minutos después de las 7:00 AM, es decir, a las 9:00 AM.
Reparto equitativo
En un almacén hay 100 cartones de zumo, 60 frutas y 40 bocadillos. ¿Cuántos artículos debe tener cada caja (máxima cantidad posible) para que no sobre ninguno? ¿Cuántas cajas se necesitan?
Paso 1: Calcular el MCD
El MCD de 100, 60 y 40 es 20. Esto se calcula descomponiendo cada número en sus factores primos y encontrando los factores comunes con el menor exponente:
100 = 2 x 2 x 5 x 5
60 = 2 x 2 x 3 x 5
40 = 2 x 2 x 2 x 5
Los factores comunes son 2, 2 y 5. Multiplicando estos factores, obtenemos 2 x 2 x 5 = 20
Por lo tanto, cada caja debe tener 20 artículos.
Paso 2: Calcular el número de cajas necesarias
Para calcular el número de cajas necesarias para cada tipo de artículo, dividimos la cantidad total de cada artículo por el MCD:
Zumo: 100 / 20 = 5 cajas
Frutas: 60 / 20 = 3 cajas
Bocadillos: 40 / 20 = 2 cajas
Respuesta:
Cada caja debe tener 20 artículos (máxima cantidad posible).
Se necesitan 5 cajas de zumo, 3 cajas de frutas y 2 cajas de bocadillos
Cortar materiales
Andrés tiene cuerdas de 120 m y 96 m. ¿Cuál es la longitud máxima de cada trozo si deben ser iguales y no sobrar nada?
Solución: MCD de 120 y 96 →24 metros por trozo
Ejercicios teóricos/conceptuales
Explicación de conceptos
Describe con un ejemplo la diferencia entre MCM (enfocado en múltiplos) y MCD (enfocado en divisores).
Ejemplo:Para 8 y 12: MCM = 24 (múltiplo común más pequeño), MCD = 4 (divisor común más grande
Tips para resolverlos:
Problemas de intervalos Usa siempre el MCM para encontrar cuándo se repite un evento.
Problemas de reparto/división Aplica el MCD para obtener la máxima cantidad o tamaño posible.
Verifica siempre tu respuesta con la descomposición en factores primos5.
Cuándo usar MCD y cuándo usar MCM
Usa el MCD cuando el problema trate de dividir o repartir en partes iguales, hacer grupos o encontrar el tamaño máximo que cabe sin sobrar nada. El resultado será siempre un número menor o igual que los números dados.
Ejemplo: cortar cuerdas en trozos iguales sin que sobre nada, repartir frutas en cajas iguales.Usa el MCM cuando el problema trate de eventos que se repiten en el tiempo, momentos en que varias cosas coinciden o se encuentran, o para sincronizar ciclos. El resultado será un número mayor o igual que los números dados.
Ejemplo: encontrar cuándo tres autobuses que salen con diferentes frecuencias volverán a coincidir en la estación
Mas ejercicios
Encuentro periódico de personas
Alan asiste a la taquería cada 20 días y Pedro cada 38 días. Si hoy coinciden, ¿cuándo volverán a encontrarse?
Solución: Calcular el MCM de 20 y 38 para saber cada cuántos días coinciden.
MCM(20, 38) = 380 días. Volverán a coincidir en 380 días.Reparto de materiales
Un almacén tiene 100 cartones de jugo, 60 frutas y 40 bocadillos. ¿Cuál es la mayor cantidad de artículos que pueden ir en cada caja para que no sobre ninguno?
Solución: Calcular el MCD de 100, 60 y 40 → 20 artículos por caja.El cálculo del máximo común divisor (MCD) de los números 100, 60 y 40 se realiza descomponiendo cada número en sus factores primos:
40 = 2 × 2 × 2 × 5
60 = 2 × 2 × 3 × 5
100 = 2 × 2 × 5 × 5
Sincronización de eventos
Tres luces parpadean cada 6, 8 y 10 segundos respectivamente. Si parpadean juntas a las 12:00, ¿cuándo volverán a hacerlo?Para resolver debemos encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de los tres números.
¿Cuántas cajas se necesitan?
Número de cajas: 100/20 + 60/20 + 40/20 = 5 + 3 + 2 = 10
cajas.
6 = 2 × 3
8 = 2³
10 = 2 × 5
Paso 2: Calcular el MCM
El MCM se obtiene tomando los factores primos con el mayor exponente que aparezcan en
cualquiera de los números:
Factor 3: máximo exponente es 1 (de 6) → 3
Factor 5: máximo exponente es 1 (de 10) → 5
Factor 2: máximo exponente es 3 (de 8) → 2³ = 8
Multiplicamos estos factores:
MCM = 8 × 3 × 5 = 120 segundos
Corte de cuerdas
Andrés tiene dos cuerdas de 120 m y 96 m. Quiere cortarlas en trozos iguales, sin que sobre nada. ¿Cuál es la longitud máxima de cada trozo?La longitud máxima de cada trozo en que Andrés puede cortar las cuerdas de 120 m y 96 m, sin que sobre nada, es el máximo común divisor (MCD) de 120 y 96.
Solución: MCM(6, 8, 10) = 120 segundos
(2 minutos). Volverán a parpadear juntas a las 12:02 minutos
.
Descomponer ambos números en factores primos:
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Identificar los factores primos comunes con el menor exponente:
Factor 2: aparece tres veces en 120 y cinco veces en 96 → tomamos 2³
Factor 3: aparece una vez en ambos → tomamos 3¹
Factor 5: no es común en ambos, se descarta
Multiplicar los factores comunes:
MCD =23×3=8×3=24
Por lo tanto, el MCD de 120 y 96 es 24
Solución: MCD(120, 96) = 24 m. Cada
trozo mide 24 m.
Reparto de libros
Una biblioteca tiene 72 libros de historia, 90 de matemáticas y 108 de literatura. Quiere hacer cajas con la misma cantidad de libros sin mezclar materias y sin que sobre ninguno. ¿Cuántos libros habrá en cada caja?Necesitamos encontrar lamáxima cantidad de libros que puede haber en cada caja para que:
Cada caja tenga libros de una sola materia (sin mezclar),
No sobre ningún libro,
Y todas las cajas tengan la misma cantidad de libros.
Esto equivale a encontrar el máximo común divisor (MCD) de las cantidades de libros de cada
materia: 72, 90 y 108.
Paso 1: Descomponer en factores primos
72 = 2³ × 3²
90 = 2 × 3² × 5
108 = 2² × 3³
Paso 2: Identificar factores comunes con menor exponente
Factor 2: aparece en 72 (2³), 90 (2¹), 108 (2²) → tomamos 2
Factor 3: aparece en 72 (3²), 90 (3²), 108 (3³) → tomamos 3²
Factor 5: sólo en 90, no es común → se descarta
Paso 3: Calcular el MCD
MCD = 2¹ × 3² = 2 × 9 = 18
Resultado
Cada caja tendrá 18 libros de la misma materia, sin que sobre ninguno.
Adicional… Cuál es el máximo número de libros que caben en cada caja sin mezclar materias ?
Solución: MCD(72,
90, 108) = 18 libros por caja.
El máximo número de libros que caben en cada caja sin mezclar materias y sin que sobre ninguno es el máximo común divisor (MCD) de 72, 90 y 108.
Calculando el MCD:
72 =23×32
90 =21×32×51
108 =22×33
Los factores comunes con menor exponente son:
21
32
Multiplicando: 2×9=18
Por lo tanto, en cada caja habrá 18 libros de la misma materia
Frecuencia de mantenimiento
Tres máquinas requieren mantenimiento cada 15, 20 y 30 días respectivamente. Si hoy se les hace mantenimiento a las tres, ¿cuándo será la próxima vez que se les haga mantenimiento a las tres juntas?debemos calcular el mínimo común múltiplo (MCM) de esos números, ya que el MCM indica el primer momento en que los ciclos coinciden.
Paso 1: Descomponer en factores primos
15 = 3 × 5
20 = 2² × 5
30 = 2 × 3 × 5
Paso 2: Tomar los factores con mayor exponente
Factor 2: máximo exponente es 2 (de 20) → 2² = 4
Factor 3: máximo exponente es 1 (de 15 y 30) → 3
Factor 5: máximo exponente es 1 (en los tres números) → 5
Paso 3: Calcular el MCM
MCM = 4 × 3 × 5 = 60 días
Resultado
Las tres máquinas volverán a recibir mantenimiento juntas dentro de 60 días a partir de hoy.
Distribución de asientos
En un teatro hay filas con 48, 60 y 72 asientos. Se quiere colocar el mismo número de personas en cada fila sin que sobre ningún asiento. ¿Cuál es el máximo número de personas por fila?
Solución: MCD(48, 60, 72) = 12 personas por fila2.Encuentro de autobuses
Tres autobuses salen de una estación cada 12, 15 y 18 minutos respectivamente. Si salen juntos a las 8:00 AM, ¿a qué hora volverán a salir juntos?Debemos calcular el mínimo común múltiplo (MCM) de esos números. El MCM nos indica el intervalo de tiempo en minutos después del cual los tres autobuses coincidirán en la salida.
Paso 1: Descomponer en factores primos
12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
18 = 2 × 3²
Paso 2: Tomar los factores con mayor exponente
Factor 2: máximo exponente es 2 (de 12) → 2² = 4
Factor 3: máximo exponente es 2 (de 18) → 3² = 9
Factor 5: máximo exponente es 1 (de 15) → 5
Paso 3: Calcular el MCM
MCM = 4 × 9 × 5 = 180 minutos
Solución: MCM(12, 15, 18) = 180 minutos (3
horas). Volverán a salir juntos a las 11:00 AM1.
, debemos calcular el mínimo común múltiplo (MCM) de esos números. El MCM nos indica el intervalo de tiempo en minutos después del cual los tres autobuses coincidirán en la salida.
Paso 1: Descomponer en factores primos
12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
18 = 2 × 3²
Paso 2: Tomar los factores con mayor exponente
Factor 2: máximo exponente es 2 (de 12) → 2² = 4
Factor 3: máximo exponente es 2 (de 18) → 3² = 9
Factor 5: máximo exponente es 1 (de 15) → 5
Paso 3: Calcular el MCM
MCM = 4 × 9 × 5 = 180 minutos
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