Ejercicios cotidianos de ecuaciones con dos incógnitas

Ejercicio 2: Precio de canicas de cristal y acero

Problema:
Se compraron 3 canicas de cristal y 2 de acero por 1,45€. Ayer, se compraron 2 canicas de cristal y 5 de acero por 1,70€. ¿Cuál es el precio de cada tipo de canica?

Planteamiento:
Sea $x$ el precio de una canica de cristal y $y$ el precio de una canica de acero.

• Primera compra:

  $$3x + 2y = 1.45$$

• Segunda compra:

  $$2x + 5y = 1.70$$

Resolución:
Multiplicamos la primera ecuación por 5 y la segunda por 2 para eliminar $y$:

$$15x + 10y = 7.25$$
$$4x + 10y = 3.40$$

Restamos la segunda de la primera:

$$(15x - 4x) + (10y - 10y) = 7.25 - 3.40$$
$$11x = 3.85$$
$$x = \frac{3.85}{11} = 0.35 \, \text{€}$$

Sustituimos en la primera ecuación:

$$3(0.35) + 2y = 1.45$$
$$1.05 + 2y = 1.45$$
$$2y = 0.40$$
$$y = 0.20 \, \text{€}$$

Respuesta:
El precio de una canica de cristal es 0,35€ y el de una canica de acero es 0,20€.

Aquí tienes tres ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas aplicados a situaciones cotidianas de la vida real:

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Ejercicio 3: Número de coches y motos en un aparcamiento

Problema:
En un aparcamiento hay 55 vehículos entre coches y motos. Si el total de ruedas es 170, ¿cuántos coches y cuántas motos hay?

Planteamiento:
Sea $c$ el número de coches y $m$ el número de motos.

• Total de vehículos:

  $$c + m = 55$$

• Total de ruedas (coches tienen 4 ruedas, motos 2):

  $$4c + 2m = 170$$

Multiplicamos la primera ecuación por 2:

$$2c + 2m = 110$$

Restamos esta ecuación de la segunda:

$$(4c - 2c) + (2m - 2m) = 170 - 110$$
$$2c = 60 \implies c = 30$$

Sustituimos en la primera ecuación:

$$30 + m = 55 \implies m = 25$$

Respuesta:
Hay 30 coches y 25 motos.

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Ejercicio 2: Compra de entradas VIP y normales

Problema:
Se vendieron 160 entradas en total, entre VIP y normales. El total recaudado fue de 23,000 pesos. Si una entrada VIP cuesta 300 pesos y una normal 150 pesos, ¿cuántas entradas de cada tipo se vendieron?

Planteamiento:
Sea $v$ el número de entradas VIP y n  el número de entradas normales.

• Total de entradas:

  $$v + n = 160$$
  

• Total recaudado:

  $$300v + 150n = 23000$$
  

Resolución:
Multiplicamos la primera ecuación por 150:

$$150v + 150n = 24000$$ 

Restamos esta ecuación de la segunda:

$$(300v - 150v) + (150n - 150n) = 23000 - 24000$$ 
$$150v = -1000 \implies v = -\frac{1000}{150} = -6.67$$

Este resultado negativo indica que con estos números no hay solución real, por lo que revisamos el planteamiento o precios. Supongamos que el precio de la entrada VIP es 400 pesos.

Replanteando:

$$400v + 150n = 23000$$ 

Multiplicamos la primera ecuación por 150:

$$150v + 150n = 24000$$ 

Restamos:

$$(400v - 150v) + (150n - 150n) = 23000 - 24000$$ 
$$250v = -1000 \implies v = -4$$

Otra vez negativo. Probemos con VIP a 200 pesos:

$$200v + 150n = 23000$$ 

Multiplicamos la primera por 150:

$$150v + 150n = 24000$$

Restamos:

$$(200v - 150v) + (150n - 150n) = 23000 - 24000$$ 
$$50v = -1000 \implies v = -20$$ 

Negativo también. Por lo tanto, para que el problema tenga solución, los datos deben ser consistentes. Supongamos que el total recaudado fue 21,000 pesos.

Entonces:

$$300v + 150n = 21000$$ 

Multiplicamos la primera ecuación por 150:

$$150v + 150n = 24000$$ 

Restamos:

$$(300v - 150v) + (150n - 150n) = 21000 - 24000$$ 
$$150v = -3000 \implies v = -20$$ 

Sigue sin solución positiva. Por tanto, el problema debe tener datos coherentes para resolver.

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Ejercicio 3: Animales en una granja

Problema:
En una granja hay patos y vacas. En total hay 132 animales y 402 patas. ¿Cuántos patos y cuántas vacas hay?

Planteamiento:
Sea $p$ el número de patos y $v$ el número de vacas.

• Total de animales:

  $$p + v = 132$$ 

• Total de patas (patos tienen 2 patas, vacas 4):

  $$2p + 4v = 402$$ 

Resolución:
Multiplicamos la primera ecuación por 2:

$$2p + 2v = 264$$ 

Restamos esta ecuación de la segunda:

$$(2p - 2p) + (4v - 2v) = 402 - 264$$ 
$$2v = 138 \implies v = 69$$ 

Sustituimos en la primera ecuación:

$$p + 69 = 132 \implies p = 63$$ 

Respuesta:
Hay 63 patos y 69 vacas.

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